Mons. Flavio va néixer a Romanò Brianza, a la província italiana de Como, el 19 de febrer de 1946. La seva família es va traslladar a Nàpols quan ell era encara molt petit. Va ser un gran aficionat al bàsquet, arribant a jugar a l'equip juvenil del Partenope. Va conèixer l'Opus Dei a través d'alguns companys mentre cursava el batxillerat al Liceu Sannazzaro, i, el 1964, durant l’últim any d'estudis preuniversitaris, va demanar ser admès en aquesta institució de l'Església.
Estudià a la Universitat Catòlica de Milà i va obtenir el títol de Llicenciat en Filosofia a Perugia. Retornà a Milà, on durant alguns anys va ser director de la residència universitària Torrescalla; i al mateix temps que es dedicava a la formació dels joves que freqüentaven la residència, va treballar com a redactor a la revista Studi Cattolici.
El 1974, després d'estudiar la llicenciatura en Teologia a les aules de la Universitat de Navarra, va ser ordenat sacerdot. Desenvolupà una abundant activitat pastoral amb estudiants universitaris. El 1978, Mons. Álvaro del Portillo el va nomenar postulador de la causa de canonització de sant Josepmaria, que va concloure el 6 d'octubre de 2002 amb la cerimònia de canonització celebrada per Joan Pau II, a la plaça de Sant Pere. Al llarg de tot aquest temps, i també després, va continuar exercint el ministeri sacerdotal, dedicant-se amb afany a la predicació, a l'atenció espiritual i a la celebració dels sagraments.
El 1997, el prelat de l'Opus Dei, Mons. Xavier Echevarría, el va nomenar postulador de la causa de canonització de Mons. Álvaro del Portillo. Tot just el passat 5 de juliol, el papa Francesc va signar el decret on es reconeix una guarició miraculosa obtinguda mitjançant la intercessió del venerable Álvaro del Portillo, motiu pel qual se’n preveu propera la beatificació.
Recentment, Mons. Flavio havia concedit una entrevista en què comentava la coincidència de l'aprovació del miracle de Mons. Álvaro amb l'anunci de la canonització de Joan Pau II: "Per a mi té un significat molt profund. Entre ells hi havia una gran sintonia espiritual, fins a tal grau que, quan va morir Mons. del Portillo, Joan Pau II va voler anar a l'església de Santa Maria de la Pau per pregar davant les despulles. Quan li van oferir la pregària pels difunts, el Papa va preferir cantar una Salve. Per a tots els presents aquest gest va ser un enorme consol".
Des de la dècada dels anys 70, Mons. Capucci patia una diabetis. Va portar la malaltia amb molta serenitat i amb gran naturalitat; fins als últims dies va saber amagar darrere d'un somriure el seu delicat estat de salut.
Entre les seves publicacions: Sono cosí felice (Sóc tan feliç), una biografia de la serventa de Déu Monserrat Grases; Josemaría Escrivà, santo, llibre en el qual explica el procés de canonització del fundador de l’Opus Dei; i Un mondo di miracoli, 18 guarigioni di san Josemaría (Miracles del nostre temps). L’obra més destacada és un extens llibre on s’analitzen fonaments teòrics i aplicacions ètiques i polítiques del pensament d’Antonio Gramsci.
El funeral ha tingut lloc a la basílica romana de sant Eugeni avui a les 10:00 h. del matí.